微分中值定理的应用及其在特定条件下问题的思

一、微分中值定理的应用微分中值定理是数学分析中非常重要的定理,它是沟通函数与导数之间的桥梁。由于它是研究函数在区间上整体性质的有力工具,故有着广泛的应用。本文谈谈中值定理的一些常见应用。(一)解方程的根在证明方程根的存在性时,出现满足中值定理的相关条件时,可以考虑运用微分中值定理解决。从某种意义来说,微分中值定理为证明方程根的存在性提供了一种方法。例1设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1),证明存在一点,使得分析:结论是在(0,1)内有根,而方程可进行如下变形:故结论是f'(X)=0在(0,1)内有根,自然考虑到f'(X)使用罗尔定理。证明:令,且。所以f'(X)在[0,1]上满足Rolle定理。故至少存在一点,s.t.即,即。(二)证明不等式在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙证明结论。例2若函数在上二阶可微分且,又函数在内取极值证明:证明:由于函数在内取极值,因此存在一点c,且,s.t ...