一个新的数论函数及其均值

1引言及结论对任意正实数m,定义函数U m(n)如下:U(m)(1)=1;对任意素数p及正整数α,定义Um(pα)=pα+m;当正整数的标准分解式为n=pαl1…pαkk时,定义U m(n)=Um(pαl1)…Umpαkk。这样定义的数论函数Um(n)显然是可乘的,但不是完全可乘函数。本文的主要目的是利用解析方法研究U m(n)的均值性质,并给出一个较强的渐近公式。定理1对任意实数x>1,我们有渐近公式。2定理的证明为了完成定理的证明,我们先叙述一个简单的引理,即著名的Perron公式[1]。引理1设。再设存在递增函数H(u)及函数B(u)使得那么,对任意的当时有:1)x≠正整数时,其中N是离x最近的整数(x半奇数时,取。2)x=正整数N时,这里O常数仅和有关。有了这个引理,我们容易给出定理的证明。事实上对任意复数(sRes>2),设由Euler积公式[2]我们有其中(s)为Riemann Zeta函数,并在s=1处有1阶极点,留数为1,而在s=2处有1阶极点,留数为在引理中取,可得将上式积分线移至Re处,并取T=x,于是有(下转77页)这就完成了定理的证明。 ...