点差法——求轨迹方程的法宝

如果设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标分别为A(x1,y1)(x2,y2),将这两点带入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,不仅减少运算量而且不易出错,这种代点作差的方法,一般称为“点差法”,点差法的实质是设而不求。但是,十分重要的问题是运用点差法得出轨迹方程后,必须检验。当题目中出现曲线、弦、相交弦的中点时,一般应用点差法解题,而且是这三个条件一般情况下是知二求一。一、点差法解决中点弦轨迹问题例1:过椭圆内一点M(2、1)引一条弦,使弦被点M平分,求此弦所在的直线方程。分析:此题中出现已知曲线、相交弦的中点,求弦所在的直线方程。所以可用点差法解决此题。解:设直线也椭圆的交点为A、B,且A、B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)又M(2,1)为AB的中点,又A、B两点在椭圆上,则,两式相减得整理得1讨论(1)当时,直线AB的方程为:x=2,显然M不是线段AB的中点。此种情况不符合题意。(2)当≠时,1式整理得)(421212121yyxxxxyy++-=-- ...